「扇子」の語源

「扇子」には何故「子」がつくのか、これは小学校時代から不思議に思っていました〜。
改めて検索してみたのですが、まだ 疑問は解けてませんね。
「子」ではなくて「小さい」の「小」をつけて「扇小」（せんしょう）又は（せんこ）でもよろしいのではありませんか。

ともあれ「子」は「す」とも読むものですかねエ〜。

------どなたか、解釈して下されば有難いのですが〜。